動画配信を見ながら同時進行でテスト送信をした時から思っておりましたが、他にも
いくつかの疑問がありますのでご回答お待ちしております。

1.アンドロイドを使用した場合はiPhoneのようにタップ画面は表示されません。
SMSメッセージ内容の下にURLが表示されているだけです。

iPhoneとおなじような仕様にはなりませんか？
現状だと、電話番号だけではiPhoneかアンドロイドかまではわからない為「タップまたはURL接続し詳細を確認して下さい」という様な説明をしなければいけませんが、文字数オーバーとなり追記説明文を入れる
事が出来ません。

2.ファビコン
iPhoneを利用したテスト送信では、設定したファビコンを確認することが出来ましたがアンドロイド
では表示されませんでした。

3.iPhoneはタイトルとショップ名が確認できるようになってますが、アンドロイドはタイトル、
ショップ名が付かず、いきなりSMSメッセージ内容が表示されるようになっているのでどこから来た
メールか伝えられません。

環境を変えた動作テストはされてますか？
iPhoneとおなじような表示になるように設定の改善は出来るのでしょうか？